极几何

学习极几何的一些笔记

$三角化$ ，已知两幅图片中对应真实世界中点的两个像素坐标和，两个相机的内参和以及两个相机之间的位姿变换矩阵和，求解的三维坐标。即寻找满足但现实是对于相机内参和、相机位姿旋转矩阵、平移向量往往不知道，仅清楚两张图片之间的对应点和。

于是在多视图几何中存在以下几个关键问题

如图：

极几何的特例：平行视图(常见双目立体、VR)：

对于规范化相机，图像上点像素坐标为，图像上的点坐标为，，因为为规范化相机所以点在坐标系下的为，同理空间点在下的为知道到的旋转矩阵和平移向量，于是有 $在的坐标在的坐标$

于是可以求得一个垂直于极平面的向量因为点在极平面上，所以有将上面的式子推导可以得出于是点和点存在一个极几何约束-----本质矩阵 $本质矩阵$ 其中本质矩阵有以下性质：

这个为正常透视相机下的点与点的对应关系，此时推导类比规范化相机下的推导，先将两张图像上点的坐标转换为规范化相机下的坐标，有：于是有：即可求得基础矩阵同样它也有上述的几个性质，不同的是它有7个自由度，因为尺度无法确定。

常见的基础矩阵估计方法八点法，归一化八点法

空间平面在两个摄像机下的投影几何

如图单应性矩阵推导已知第一个摄像机的内参矩阵，第二个内参矩阵，第二个摄像机相对于第一个摄像机的位置，为平面在第一个摄像机坐标系下的单位法向量，为坐标原点到平面的距离。

平面的方程为，表示点的欧式坐标，由此直接给出平面的单应性矩阵，其中，

约束关系

基础矩阵建立点和极线的对应关系

单应矩阵建立点和点的对应